Hur många lösningar har ekvationen x4=4x

I detta denna plats avsnittet bygger oss vidare vid vad oss tidigare lärt oss ifall formler samt ekvationer, samt går igenom en antal modell vid hur man löser ekvationer. Allt inom nästa segment existerar enstaka repetition, dock detta existerar väl värt för att vandra igenom då detta existerar viktigt för att man kunna åtgärda ekvationer.

oss studera hur ett ekvationslösning går mot, detta önskar yttra hur man förmå räkna ut vilket värde ett variabel inom ett ekvation måste äga på grund av för att ekvationen bör stämma.

Enkla ekvationer

Vi börjar tillsammans med för att formulera enstaka ekvation utifrån enstaka konkret situation.

Låt yttra för att oss äger varit inom affären samt köpt bananer på grund av \(36\) kronor.

oss vet för att priset fanns \(6\) kr per kg, således förmå oss räkna ut hur flera kilo bananer oss äger köpt. ifall oss betecknar antalet kilo bananer oss köpt tillsammans med \(x\), sålunda är kapabel oss ställa upp enstaka ekvation liksom beskriver förhållandet:

$$6x=36$$

Ekvationen ovan förmå man alltså tolka därför här:
Vi äger köpt \(x\) kg bananer, varenda kg bananer kostar \(6\) kr samt totalt kostade bananerna \(36\) kr.

Tidigare besitter oss lärt oss för att man är kapabel förändra leden inom enstaka ekvation, därför länge man utför identisk sak inom båda leden.

Man måste alltså utföra identisk räkneoperationer vid uttrycken vid båda sidorna angående likhetstecknet.
Genom för att utföra räkneoperationer vid båda sidorna angående likhetstecknet kunna man notera angående ekvationen, således för att variabeln står isolerad inom detta en ledet.

Det viktiga denna plats existerar för att man utför identisk räkneoperation vid såväl bota detta vänstra ledet vilket all detta högra ledet - på det sättet bevaras likheten mellan leden.

Så här löser du en ekvation med kalkylatorn: skriv först in delen av ekvationen före likhetstecknet =, tryck på knappen x=y, skriv in den resterande delen av ekvationen, tryck på knappen = för att utföra beräkningarna

Denna ekvationslösningsmetod kallas balansmetoden.

---

Exempel vid svar från enkla ekvationer

Vi adderar \(4\) mot uttrycken inom båda leden till för att erhålla \(x\) ensamt inom vänster led:

$$x-4=5$$

$$x-4+4=5+4$$

$$x=9$$

---

Här subtraherar oss \(5\) ifrån uttrycken inom båda leden samt får \(x\)  ensamt:

$$x+5=6$$

$$x+=$$

$$x=1$$

---

Vi mångfaldigar uttrycken inom båda leden tillsammans \(8\) på grund av för att åtgärda ut \(x\):

$$\frac{x}{8}=9$$

$$8\cdot \frac{x}{8}=9\cdot 8$$

$$x=72$$

---

Slutligen en modell var oss dividerar uttrycken inom båda leden tillsammans \(10\) till för att ett fåtal ut \(x\):

$$10x=20$$

$$\frac{10x}{10}=\frac{20}{10}$$

$$x=2$$

---

Balansmetoden

Vi återgår mot exemplet tillsammans med bananinköpet.

$$6x=36$$

Nu kunna oss räkna ut antalet kilo bananer oss köpte.

oss dividerar uttrycken inom både vänster samt motsats till vänster led tillsammans med \(6\), sålunda för att \(x\) (antal kg bananer) står ensamt inom detta vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}=\frac{36}{6}$$

$$x=6$$

De modell oss tog upp ovan gick för att åtgärda inom en steg genom för att tillämpa ett räkneoperation vid uttrycken inom båda leden.

detta går även för att åtgärda mer komplicerade ekvationer tillsammans flera steg. detta existerar då viktigt för att komma minnas för att man ständigt multiplicerar samt dividerar samtliga begrepp inom båda leden.

---

Flerstegsekvation

Låt oss ta en modell vid svar från enstaka flerstegsekvation

$$3x+6=9$$

Vi börjar tillsammans för att sätta \(3x\)-termen isolerad inom vänsterledet genom för att subtrahera uttrycken inom båda leden tillsammans med \(6\):

$$3x+6 \;{\color{Red} -\; 6}=9 \;{\color{Red} -\; 6}$$

$$3x=3$$

I nästa steg önskar oss bli från tillsammans med \(3\):an framför \(x\):et.

oss fullfölja oss från tillsammans med \(3\):an genom för att dividera båda leden tillsammans med \(3\):

$$\frac{\cancel{\color{Red}3}x}{\cancel{\color{Red}3}}=\frac{\cancel{\color{Red}3}}{\cancel{\color{Red}3}}$$

$$x=1$$

Ekvation rötter existerar 1.

---

Prövning

För för att granska för att lösningen oss kommit fram mot existerar rätta svar förmå oss pröva lösningen.

Vi studerar hur ekvationslösning går till, det vill säga hur vi kan ta reda på vilket värde variabler måste ha för att en viss ekvation ska gälla

detta innebär för att man tar värdet vid \(x\) såsom man kommit fram mot samt sätter in inom originalekvationen, vid varenda ställen var detta står \(x\). ifall likheten inom ekvationen gäller, existerar svar giltig.

Tidigare inom detta på denna plats avsnittet löste oss nästa ekvation

$$x-4=5$$

till

$$x=9$$

För för att testa denna svar, byter ut \(x\):et inom ekvationen mot 9 samt får att

$$*VL=x-4==5$$

och

$$*HL=5$$

vilket ger att

$$*VL=HL$$

*VL= vänsterled, HL=högerled

Alltså stämmer lösningen.

Att nyttja sig från prövning existerar en utmärkt sätt för att granska för att man ej gjort räknefel.

angående oss ägde kommit fram mot en effekt vid ekvationen likt ej bevarar likheten mellan vänster led samt motsats till vänster led då oss sätter in värdet vid variabeln, då måste oss äga räknat fel någonstans.

---

Ekvationer tillsammans variabler inom båda leden

Om enstaka ekvation innehåller variabler inom uttrycken inom både vänsterled samt högerled, löser oss ekvationen genom för att inledningsvis försöka samla samtliga variabler vid identisk sida.

Exempel

$$5x=x$$

Addera \(42x\) mot båda leden, således varenda \(x\)-termer samlas inom en ledet (i detta denna plats fall vänsterledet):

$$5x\;{\color{Red} +\;42x}=x\;{\color{Red} +\;42x}$$

$$47x=$$

Härifrån fullfölja oss noggrann liksom tidigare samt delar uttrycken inom båda leden tillsammans med \(47\), på grund av för att erhålla \(x\):et ensamt inom vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{47}x}{\cancel{47}}=\frac{}{47}$$

$$x=\frac{}{47}\approx 8,09$$

Ekvationer tillsammans variabel inom nämnaren

I vissa ekvationer finns variabeln inom divisor från en bråkuttryck.

noggrann liksom tidigare gäller detta för att man fullfölja identisk räkneoperationer vid båda sidorna till för att skydda likheten. ifall oss besitter ekvation

$$\frac{10}{x}=5$$

multiplicerar oss läka ekvationen (båda leden) tillsammans med \(x\) samt får att

$$\frac{10}{x}=5\Rightarrow \frac{10\cdot x}{x}=5\cdot x\Rightarrow 10=5x$$

Härifrån kunna oss åtgärda ut \(x\) genom för att dividera läka ekvationen tillsammans \(5\) samt får att

$$\frac{10}{5}=\frac{5x}{5}\Rightarrow x=2$$

Som oss ser inom beräkningen ovan, försvann \(x\):et inom divisor samt oss fick en lösbart formulering.

Men kolla alltid att de första stegen då redan är gjorda först

Denna räknemetod används till för att hantera variabler liksom finns inom divisor inom ekvationer.

Allmän svar från raka ekvationer

I detta denna plats avsnittet besitter oss hittills gått igenom ekvationer från inledande graden, detta önskar yttra ekvationer var variabeltermen \(x\) existerar från graden 1, mot skillnad ifrån andragradsekvationer likt innehåller minimalt ett \(x^2\)-term.

Förstagradsekvationer kallas linjära ekvationer.

Alla raka ekvationer kunna (efter eventuell förenkling) tecknas vid formen

$$ax+b=0$$

$$a \neq 0$$

Där \(a\) samt \(b\) existerar konstanter samt \(x\) existerar vår variabel. Den allmänna lösningen mot raka ekvationer fås från för att oss ifrån ekvationen

$$ax+b=0$$

först subtraherar \(b\) ifrån uttrycken inom båda leden

$$ax+b\;{\color{Red} - \;b}=0\;{\color{Red} - \;b}$$

vilket ger oss

$$ax=-b$$

Dividera uttrycken inom båda leden tillsammans \(a\), till för att ett fåtal \(x\) ensamt inom detta vänstra ledet:

$$\frac{ax}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$$

Sammanfattningsvis:

Om oss besitter ett förstagradsekvation skriven vid formen

$$ax+b=0$$

där \(x\) existerar enstaka variabel, samt \(a\) samt \(b\) existerar konstanter, då besitter ekvationen enstaka lösning

$$ x=-\frac{b}{a}$$